통계학 기초 3주차

3주차 목표

각각의 유의성 검정 방법들에 이해하고 특징을 파악한다
신뢰구간과 가설검정의 관계에 대해 설명할 수 있다
제 1종 오류와 2종 오류에 대해 이해하고 구분할 수 있다

 

강의 자료 : [스파르타코딩클럽] 유의성검정

실습 자료 : https://colab.research.google.com/drive/1TGJ2rwCsZ8ujapBlopOr5zeYubIkPMjU#scrollTo=3AdSJYLczpiq

 

A/B 검정

• A/B 검정은 두 버전(A와 B) 중 어느 것이 더 효과적인지 평가하기 위해 사용되는 검정 방법
• 마케팅, 웹사이트 디자인 등에서 많이 사용됨
• 사용자들을 두 그룹으로 나누고, 각 그룹에 다른 버전을 제공한 후, 반응을 비교
• 일반적으로 전환율, 클릭률, 구매수, 방문 기간, 방문한 페이지 수, 특정 페이지 방문 여부, 매출 등의 지표를 비교
• 두 그룹 간의 변화가 우연이 아니라 통계적으로 유의미한지를 확인

EX) 온라인 쇼핑몰에서 두 가지 디자인(A와 B)에 대한 랜딩 페이지를 테스트하여 어떤 디자인이 더 높은 구매 전환율을 가져오는지 평가

import numpy as np
import scipy.stats as stats

# 가정된 전환율 데이터
group_a = np.random.binomial(1, 0.30, 100)  # 30% 전환율
group_b = np.random.binomial(1, 0.45, 100)  # 45% 전환율

# t-test를 이용한 비교
t_stat, p_val = stats.ttest_ind(group_a, group_b)
print(f"T-Statistic: {t_stat}, P-value: {p_val}")

 

 

☑️  stats.ttest_ind

• scipy.stats.ttest_ind 함수는 독립표본 t-검정(Independent Samples t-test)을 수행하여 두 개의 독립된 집단 간 평균의 차이가 유의미한지 평가
• 두 집단의 데이터 배열을 입력으로 받아서 t-통계량과 p-값을 반환
  • t-통계량 (statistic)
    • t-검정 통계량입니다. 두 집단 간 평균 차이의 크기와 방향을 나타냅니다.
  • p-값 (pvalue)
    • p-값은 귀무 가설이 참일 때, 현재 데이터보다 극단적인 결과가 나올 확률입니다.
    • 이 값이 유의수준(α, 일반적으로 0.05) 보다 작으면 귀무 가설을 기각하고 이 값이 유의수준(α) 보다 크면 귀무 가설을 기각하지 않음

A/B 테스트의 실제 예시

거래 후기 실험을 통해 따뜻한 거래 경험 만들기. 거래 후기 실험을 통해 당근마켓이 어떻게 따뜻한 서비스를 만들고… | by Yedaeun | 당근 테크 블로그 | Medium

 

 

가설검정

• 표본 데이터를 통해 모집단의 가설을 검증하는 과정
• 즉, 데이터가 특정 가설을 지지하는지 평가하는 과정
• 귀무가설(H0)과 대립가설(H1)을 설정하고, 귀무가설을 기각할지를 결정
• 데이터 분석시 두가지 전략을 취할 수 있음
  • 확증적 자료분석 : 미리 가설들을 먼저 세운 다음 가설을 검증해 나가는 분석
  • 탐색적 자료분석(EDA) : 가설을 먼저 정하지 않고 데이터를 탐색해보면서 가설 후보들을 찾고 데이터의 특징을 찾는 것

가설검정 단계

1. 귀무가설(H0)과 대립가설(H1) 설정

2. 유의수준(α) 결정(일반적으로 0.05)

3. 검정통계량 계산

4. p -값과 유의수준 비교

5. 결론 도출

 

통계적 유의성과 p 값

통계적 유의성

• 통계적 유의성은 결과가 우연히 발생한 것이 아니라 어떤 효과가 실제로 존재함을 나타내는 지표
• p값은 귀무 가설이 참일 경우 관찰된 통계치가 나올 확률을 의미
• 일반적으로 p값이 0.05 미만이면 결과를 통계적으로 유의하다고 판단

p-값

• 귀무가설이 참일 때, 관찰된 결과 이상으로 극단적인 결과가 나올 확률
• 일반적으로 p-값이 유의수준(α)보다 작으면 귀무가설을 기각
• 유의수준으로 많이 사용하는 값이 0.05

p-값을 통한 유의성 확인

• p-값이 0.03이라면, 3%의 확률로 우연히 이러한 결과가 나올 수 있음
• 일반적으로 0.05 이하라면 유의성이 있다고 봄

 

신뢰구간과 가설검정의 관계

• 신뢰구간과 가설검정은 밀접하게 관련된 개념
• 둘 다 데이터의 모수(ex. 평균)에 대한 정보를 구하고자 하는 것이지만 접근 방식이 다름

신뢰구간

특정 모수가 포함될 범위를 제공

 

가설검정

모수가 특정 값과 같은지 다른지 테스트

 

EX) 가설 설정

• 새로운 약물이 기존 약물보다 효과가 있는지 검정
• 이 때 새로운 약물은 기존 약물과 큰 차이가 없다는 것이 귀무가설!
• 대립가설은 새로운 약물이 기존 약물과 대비해 교과가 있다는 것!

# 기존 약물(A)와 새로운 약물(B) 효과 데이터 생성
A = np.random.normal(50, 10, 100)
B = np.random.normal(55, 10, 100)

# 평균 효과 계산
mean_A = np.mean(A)
mean_B = np.mean(B)

# t-검정 수행
t_stat, p_value = stats.ttest_ind(A, B)

print(f"A 평균 효과: {mean_A}")
print(f"B 평균 효과: {mean_B}")
print(f"t-검정 통계량: {t_stat}")
print(f"p-값: {p_value}")

# t-검정의 p-값 확인 (위 예시에서 계산된 p-값 사용)
print(f"p-값: {p_value}")
if p_value < 0.05:
    print("귀무가설을 기각합니다. 통계적으로 유의미한 차이가 있습니다.")
else:
    print("귀무가설을 기각하지 않습니다. 통계적으로 유의미한 차이가 없습니다.")

 

 

t검정

• t검정은 두 집단 간의 평균 차이가 통계적으로 유의미한지 확인하는 검정 방법
• 독립표본 t검정과 대응표본 t검정으로 나뉨

독립표본 t검정

두 독립된 그룹의 평균을 비교

대응표본 t검정

동일한 그룹의 사전/사후 평균을 비교

 

EX) p-값을 통한 유의성 확인

• 두 클래스의 시험 성적 비교(독립표본 t검정)
• 다이어트 전후 체중 비교(대응표본 t검정)

# 학생 점수 데이터
scores_method1 = np.random.normal(70, 10, 30)
scores_method2 = np.random.normal(75, 10, 30)

# 독립표본 t검정
t_stat, p_val = stats.ttest_ind(scores_method1, scores_method2)
print(f"T-Statistic: {t_stat}, P-value: {p_val}")

 

 

다중검정

• 여러 가설을 동시에 검정할 때 발생하는 문제
• 각 검정마다 유의수준을 조정하지 않으면 1종 오류(귀무가설이 참인데 기각하는 오류) 발생 확률이 증가

보정 방법

• 본페로니 보정, 튜키 보정, 던넷 보정, 윌리엄스 보정 등이 있음
• 가장 대표적이고 기본적인게 본페로니 보정

EX) 여러 약물의 효과를 동시에 검정(본페로니 보정 사용)

import numpy as np
import scipy.stats as stats

# 세 그룹의 데이터 생성
np.random.seed(42)
group_A = np.random.normal(10, 2, 30)
group_B = np.random.normal(12, 2, 30)
group_C = np.random.normal(11, 2, 30)

# 세 그룹 간 평균 차이에 대한 t검정 수행
p_values = []
p_values.append(stats.ttest_ind(group_A, group_B).pvalue)
p_values.append(stats.ttest_ind(group_A, group_C).pvalue)
p_values.append(stats.ttest_ind(group_B, group_C).pvalue)

# 본페로니 보정 적용
alpha = 0.05
adjusted_alpha = alpha / len(p_values)

# 결과 출력
print(f"본페로니 보정된 유의 수준: {adjusted_alpha:.4f}")
for i, p in enumerate(p_values):
    if p < adjusted_alpha:
        print(f"검정 {i+1}: 유의미한 차이 발견 (p = {p:.4f})")
    else:
        print(f"검정 {i+1}: 유의미한 차이 없음 (p = {p:.4f})")

 

본페로니 보정

위 예시에서 유의수준이 0.05로 되어 있는데 p-values의 길이로 나누어 유의수준을 엄격하게 함(유의수준 값이 더 작아짐)

 

카이제곱검정

• 범주형 데이터의 표본 분포가 모집단 분포와 일치하는지 검정(적합도 검정)
• 두 범주형 변수 간의 독립성을 검정(독립성 검정)

적합도 검정

• 관찰된 분포와 기대된 분포가 일치하는지 검정
• p값이 높으면 데이터가 귀무 가설에 잘 맞음. 즉, 관찰된 데이터와 귀무 가설이 적합
• p값이 낮으면 데이터가 귀무 가설에 잘 맞지 않음. 즉, 관찰된 데이터와 귀무 가설이 부적합

독립성 검정

• 두 범주형 변수 간의 독립성을 검정
• p값이 높으면 두 변수 간의 관계가 연관성이 없음 → 독립성이 있음
• p값이 낮으면 두 변수 간의 관계가 연관성이 있음 → 독립성이 없음

EX) 범주형 데이터의 분포 확인 및 독립성 확인을 위해 사용

• 주사위의 각 면이 동일한 확률로 나오는지 검정(적합도 검정)
• 성별과 직업 만족도 간의 독립성 검정(독립성 검정)

# 적합도 검정
observed = [20, 30, 25, 25]
expected = [25, 25, 25, 25]
chi2_stat, p_value = stats.chisquare(observed, f_exp=expected)
print(f"적합도 검정 카이제곱 통계량: {chi2_stat}, p-값: {p_value}")

# 독립성 검정
observed = np.array([[10, 10, 20], [20, 20, 40]])
chi2_stat, p_value, dof, expected = stats.chi2_contingency(observed)
print(f"독립성 검정 카이제곱 통계량: {chi2_stat}, p-값: {p_value}")

# 나이와 흡연 여부 독립성 검정
observed = np.array([[30, 10], [20, 40]])
chi2_stat, p_value, dof, expected = stats.chi2_contingency(observed)
print(f"독립성 검정 카이제곱 통계량: {chi2_stat}, p-값: {p_value}")

☑️  stats.chisquare 함수

• scipy.stats.chisquare 함수는 카이제곱 적합도 검정을 수행하여 관찰된 빈도 분포가 기대된 빈도 분포와 일치하는지 평가
• 이 검정은 주로 단일 표본에 대해 관찰된 빈도가 특정 이론적 분포(예: 균등 분포)와 일치하는지 확인하는 데 사용
• 반환 값
  • chi2: 카이제곱 통계량입니다.
  • p: p-값입니다. 이는 관찰된 데이터가 귀무 가설 하에서 발생할 확률입니다.

☑️  stats.chi2_contingency 함수

• scipy.stats.chi2_contingency 함수는 카이제곱 검정을 수행하여 두 개 이상의 범주형 변수 간의 독립성을 검정
• 이 함수는 관측 빈도를 담고 있는 교차표(contingency table)를 입력으로 받아 카이제곱 통계량, p-값, 자유도, 그리고 기대 빈도(expected frequencies)를 반환
• 반환 값
  • chi2 : 카이제곱 통계량입니다.
  • p : p-값입니다. 이는 관측된 데이터가 귀무 가설 하에서 발생할 확률입니다.
  • dof : 자유도입니다. 이는 (행의 수 - 1) * (열의 수 - 1)로 계산됩니다.
  • expected : 기대 빈도입니다. 이는 행 합계와 열 합계를 사용하여 계산된 이론적 빈도입니다.

 

제 1종 오류와 제 2종 오류

 

제 1종 오류

• 귀무가설이 참인데 기각하는 오류
• 잘못된 긍정을 의미 (아무런 영향이 없는데 영향이 있다고 하는 것)
• 한 단어로 위양성!
• α를 경계로 귀무가설을 기각하기 때문에 제1종 오류가 α만큼 발생
• 유의수준(α)을 정함으로써 제 1종 오류 제어 가능(유의수준이 오류가 발생할 확률이므로 낮추면 제어 가능)
• 만약, 유의수준이 0.05라면 100번 중 5번 정도 일어날 수 있는 제 1종 오류는 감수하겠다는 것

• 다중 검정시 제 1종 오류가 증가하는 이유?
  • 하나의 검정에서 제1종 오류가 발생하지 않을 확률은 1- α
  • m개의 독립된 검정에서 제1종 오류가 전혀 발생하지 않을 확률은 (1- α)^m
  • 따라서, m개의 검정에서 하나 이상의 제1종 오류가 발생할 확률(즉, 전체 제1종 오류율)은 1-(1- α)^m
  • 이 값은 m이 커질수록 빠르게 증가합니다. 예를 들어, α=0.05, m=10인 경우
  • 1-(1-0.05)^{10}  ≒ 0.401
  • 즉, 10개의 가설을 동시에 검정할 때 하나 이상의 가설에서 제 1종 오류가 발생할 확률이 약 40.1% 이므로 개별검증에서 발생하는 오류율(5%)보다 높습니다.
  • 따라서 보정이 필요!!

제 2종 오류

• 귀무가설이 거짓인데 기각하지 않는 오류.
• 잘못된 부정을 의미 (영향이 있는데 영향이 없다고 하는 것)
• 한 단어로 위음성!
• 제 2종 오류가 일어날 확률은 β로 정의.
• 제 2종 오류가 일어나지 않을 확률은 검정력(1-β)으로 정의.
• 하지만 이를 직접 통제할 수는 없음.
• 그나마 통제를 해볼 수 있는 방법으로는…
  • 표본크기 n이 커질 수록 β가 작아짐.
  • α와 β는 상충관계에 있어서 너무 낮은 α를 가지게 되면 β는 더욱 높아짐
  • α를 너무 낮추면 안됨

 

EX) 새로운 약물이 효과가 없는데 있다고 결론 내리는 것(제 1종 오류).

       효과가 있는데 없다고 결론 내리는 것(제 2종 오류).

 

 

 

연습문제

아직 헷갈려서 문제에 나온 용어들을 정리해 보겠습니다!

1. p-value는 가설검정에서 귀무가설이 참일 때, 관찰된 데이터 또는 더 극단적인 데이터가 나타날 확률을 의미합니다.

따라서 p-value가 유의수준보다 낮다는 것은 귀무가설치 참일 가능성이 우리가 유의하는 수준보다 굉장히 낮다는 의미가 됩니다.

 

2. 가설검정에서 귀무가설은 연구자가 입증하는 주장과는 아무 상관없는 현재 상태나 기존의 믿음을 나타내며, 대립가설은 연구자가 입증하고자 하는 새로운 주장입니다.

 

3. 독립 표본 t검정은 두 개의 독립된 그룹 간의 평균을 비교할 때 사용되며, 대응 표본 t검정은 같은 그룹의 두 시점(사전/사후) 간 평균을 비교할 때 사용됩니다.

 

4. 제 1종 오류는 귀무가설이 참인데도 불구하고 기각하는 오류이며, 제 2종 오류는 대립가설이 참인데도 불구하고 기각하는 오류입니다.