통계학 2주차

2주차 목표

모집단과 표본에 대해서 이해하고 각각에 대해 설명할 수 있다
각각의 분포에 대한 개념과 특징을 설명할 수 있다
표본오차와 신뢰구간에 대해 이해하고 있다

 

강의 자료 : [스파르타코딩클럽] 데이터의 분포

실습 자료 : https://colab.research.google.com/drive/1z1UzwjpIxT48M0RF1lFMXuvI4KWUQZO8#scrollTo=lC_GXSGfeADZ

 

모집단과 표본

모집단 : 관심의 대상이 되는 전체 집단

표본 : 모집단에서 추출한 일부

 

표본을 사용하는 이유

1. 현실적인 제약

• 비용과 시간
  • 전체 모집단을 조사하는 것은 비용과 시간이 많이 들기 때문에 대부분의 경우 불가능하거나 비효율적
  • .표본 조사는 이러한 자원을 절약하면서도 유의미한 결과를 도출할 수 있는 방법
• 접근성
  • 모든 데이터를 수집하는 것이 물리적으로 불가능한 경우가 많음
  • 예를 들어, 특정 질병에 걸린 모든 환자의 데이터를 수집하는 것은 어려울 수 있음

2. 대표성

• 표본의 대표성
  • 잘 설계된 표본은 모집단의 특성을 반영할 수 있습니다. 이를 통해 표본에서 얻은 결과를 모집단 전체에 일반화할 수 있음
  • 무작위로 표본을 추출하면 편향을 최소화하고 모집단의 다양한 특성을 포함할 수 있음

3. 데이터 관리

• 데이터 처리의 용이성
  • 표본 데이터를 사용하는 것은 전체 데이터를 다루는 것보다 데이터 처리와 분석이 훨씬 용이함
  • 큰 데이터셋은 분석에 많은 컴퓨팅 자원이 필요할 수 있지만, 작은 표본은 이런 부담을 줄여줌
• 데이터 품질 관리
  • 작은 표본에서는 데이터 품질을 더 쉽게 관리하고, 오류나 이상값을 식별하여 수정 가능

4. 모델 검증 용이

• 모델 적합도 테스트
  • 표본 데이터를 사용하여 통계적 모델을 검증 가능
  • 모델이 표본 데이터에 잘 맞는다면, 모집단에도 잘 맞을 가능성이 높음

전수조사

모집단 전체를 조사하는 방법

대규모일 경우 비용과 시간이 많이 듦.

 

표본조사

표본만을 조사하는 방법

비용과 시간이 적게 들지만, 표본이 대표성을 가져야 함.

 

실제 사용 예시

• 한 도시의 모든 가구(모집단) 중 100가구(표본)를 조사하여 평균 전력 사용량을 추정
• 특정 치료법의 효과를 알아보기 위해 전체 환자를 조사하는 대신, 표본을 통해 추정하고 이를 바탕으로 결론을 도출
• 소비자 선호도를 파악하기 위해 모든 소비자를 조사하는 대신, 무작위로 선택된 표본을 통해 전체 시장의 트렌드를 추정
• 선거 전 여론 조사를 통해 전체 유권자의 투표 경향을 추정하여 선거 결과를 예측

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 모집단 생성 (예: 국가의 모든 성인의 키 데이터)
population = np.random.normal(170, 10, 1000)

# 표본 추출
sample = np.random.choice(population, 100)

plt.hist(population, bins=50, alpha=0.5, label='population', color='blue')
plt.hist(sample, bins=50, alpha=0.5, label='sample', color='red')
plt.legend()
plt.title('population and sample distribution')
plt.show()

 

☑️ np.random.normal

정규분포(가우시안 분포)를 따르는 난수를 생성

numpy.random.normal(loc=0.0, scale=1.0, size=None)

• loc (float): 정규분포의 평균 (기본값: 0.0)
• scale (float): 정규분포의 표준편차 (기본값: 1.0)
• size (int 또는 tuple of ints): 출력 배열의 크기 (기본값: None, 즉 스칼라 값 반환)

☑️ np.random.choice

주어진 배열에서 임의로 샘플링하여 요소를 선택

지정된 배열에서 무작위로 선택된 요소를 반환하는 기능을 제공

numpy.random.choice(a, size=None, replace=True, p=None)

• a (1-D array-like or int): 샘플링할 원본 배열. 정수인 경우 np.arange(a)와 동일하게 간주됨
• size (int 또는 tuple of ints): 출력 배열의 크기 (기본값: None, 즉 단일 값 반환)
• replace (boolean): 복원 추출 여부를 나타냄. True면 동일한 요소가 여러 번 선택될 수 있음(기본값: True)
• p (1-D array-like, optional): 각 요소가 선택될 확률. 배열의 합은 1

☑️ plt.hist

• bins
  • 히스토그램의 빈(bins)의 개수 또는 경계
  • 정수나 리스트로 입력할 수 있음.
    • 정수: 빈의 개수를 지정
    • 리스트: 각 빈의 경계를 직접 지정 (140~150, 150~160 … 이렇게 경계를 지정하고 싶으면 리스트로 작성)
• alpha : 히스토그램 막대의 투명도를 지정. 0(투명)에서 1(불투명) 사이의 값입니다.
• label : 히스토그램의 레이블을 지정. 여러 히스토그램을 그릴 때 범례를 추가하는 데 사용

 

표본오차와 신뢰구간

표본오차 (Sampling Error)

• 표본에서 계산된 통계량과 모집단의 진짜 값 간의 차이
• 표본 크기가 클수록 표본오차는 작아짐
• 표본의 크기와 표본 추출 방법에 따라 달라질 수 있음

신뢰구간 (Confidence Interval)

• 신뢰구간은 모집단의 특정 파라미터(예: 평균, 비율)에 대해 추정된 값이 포함될 것으로 기대되는 범위
• 신뢰구간 계산 방법
  • 신뢰구간=표본평균±z×표준오차
  • z : 선택된 신뢰수준에 해당하는 z-값
  • 예를 들어, 95% 신뢰수준의 z-값은 1.96입니다.
  • 일반적으로 95% 신뢰수준을 많이 사용

EX) 100명의 학생을 표본으로 추출하여 그들의 평균 수학 점수를 구하고, 이 점수의 신뢰구간을 계산.

import scipy.stats as stats

# 표본 평균과 표본 표준편차 계산
sample_mean = np.mean(sample)
sample_std = np.std(sample)

# 95% 신뢰구간 계산
conf_interval = stats.t.interval(0.95, len(sample)-1, loc=sample_mean, scale=sample_std/np.sqrt(len(sample)))

print(f"표본 평균: {sample_mean}")
print(f"95% 신뢰구간: {conf_interval}")

 

☑️ stats.t.interval

• scipy.stats는 SciPy 라이브러리의 일부로, 통계 분석을 위한 다양한 함수와 클래스들을 제공하는 모듈
• scipy.stats.t.interval 함수는 주어진 신뢰 수준에서 t-분포(밑에서 얘기하는 student t 분포)를 사용하여 신뢰 구간(confidence interval)을 계산하는 데 사용

scipy.stats.t.interval(alpha, df, loc=0, scale=1)

 

• alpha : 신뢰 수준(confidence level)을 의미, 95% 신뢰 구간을 원하면 alpha를 0.95로 설정
• df : 자유도(degrees of freedom)를 나타냄, 일반적으로 표본 크기에서 1을 뺀 값으로 설정합니다 (df = n - 1).
• loc위치(parameter of location)로, 일반적으로 표본 평균을 설정
• scale : 스케일(parameter of scale)로, 일반적으로 표본 표준 오차(standard error)를 설정, 표본 표준 오차는 표본 표준편차를 표본 크기의 제곱근으로 나눈 값 (scale = sample_std / sqrt(n))

 

정규분포

• 종 모양의 대칭 분포로, 대부분의 데이터가 평균 주위에 몰려 있는 분포
• 평균을 중심으로 좌우 대칭이며, 평균에서 멀어질수록 데이터의 빈도가 감소
• 표준편차는 분포의 퍼짐 정도를 나타냄
• 대부분의 데이터가 평균 주변에 몰려 있으며, 평균에서 멀어질수록 빈도가 줄어듦.

정규 분포 예시 사진

# 정규분포 생성
normal_dist = np.random.normal(170, 10, 1000)

# 히스토그램으로 시각화
plt.hist(normal_dist, bins=30, density=True, alpha=0.6, color='g')

# 정규분포 곡선 추가
xmin, xmax = plt.xlim()
x = np.linspace(xmin, xmax, 100)
p = stats.norm.pdf(x, 170, 10)
plt.plot(x, p, 'k', linewidth=2)
plt.title('normal distribution histogram')
plt.show()

 

 

긴 꼬리 분포

• 긴 꼬리 분포는 대부분의 데이터가 분포의 한쪽 끝에 몰려 있고, 반대쪽으로 긴 꼬리가 이어지는 형태의 분포
• 정규분포와 달리 대칭적이지 않고 비대칭적
• 특정한 하나의 분포를 의미하지 않으며 여러 종류의 분포(예: 파레토 분포, 지프의 법칙, 멱함수)를 포함
• 소득 분포, 웹사이트 방문자 수 등에서 관찰됨
• 아무리 데이터가 많아져도 정규뷴포가 되지 않

실제 사용 예시

• 일부 부유층이 전체 소득에서 큰 비중을 차지하는 소득 분포.
• 소수의 베스트셀러 도서가 전체 판매량의 대부분을 차지하고, 많은 수의 비인기 도서가 적은 판매를 기록하는 긴 꼬리 분포

# 긴 꼬리 분포 생성 (예: 소득 데이터)
long_tail = np.random.exponential(1, 1000)

# 히스토그램으로 시각화
plt.hist(long_tail, bins=30, density=True, alpha=0.6, color='b')
plt.title('long tail distribution histogram')
plt.show()

 

스튜턴트 t 분포

• 표본이 작을 때 정규분포 대신 사용
• t분포는 모집단의 표준편차를 알 수 없고 표본의 크기가 작은 경우(일반적으로 30미만)에 사용되는 분포
• 정규분포와 유사하지만, 표본의 크기가 작을수록 꼬리가 두꺼워지는 특징이 있음
• 표본 크기가 커지면(데이터 수가 많아지면) 정규분포에 가까워짐.

# 스튜던트 t 분포 생성
t_dist = np.random.standard_t(df=10, size=1000)

# 히스토그램으로 시각화
plt.hist(t_dist, bins=30, density=True, alpha=0.6, color='r')

# 스튜던트 t 분포 곡선 추가
x = np.linspace(-4, 4, 100)
p = stats.t.pdf(x, df=10)
plt.plot(x, p, 'k', linewidth=2)
plt.title('student t distribution histogram')
plt.show()

 

카이제곱분포

• 범주형 데이터의 독립성 검정이나 적합도 검정에 사용되는 분포
• 데이터가 많아질수록 정규분포에 가까워짐
• 자유도에 따라 모양이 달라짐
• 상관관계나 인과관계를 판별하고자 하는 원인의 독립변수가 ‘완벽하게 서로 다른 질적 자료’일 때 활용
• 독립성 검정
  • 두 범주형 변수 간의 관계가 있는지 확인할 때 사용
  • ex) 성별과 직업 선택 간의 독립성 검토
  • ex) 성별이 후보 지지율에 영향을 끼치는지 검토
• 적합도 검정
  • 관측한 값들이 특정 분포에 해당하는지 검정할 때 사용
  • ex) 주사위의 각 면이 동일한 확률로 나오는지 검정
  • ex) 노란색 완두와 녹색 완두의 비율이 실험적으로 측정한 데이터와 동일하게 나오는지 검정

# 카이제곱분포 생성
chi2_dist = np.random.chisquare(df=2, size=1000)

# 히스토그램으로 시각화
plt.hist(chi2_dist, bins=30, density=True, alpha=0.6, color='m')

# 카이제곱분포 곡선 추가
x = np.linspace(0, 10, 100)
p = stats.chi2.pdf(x, df=2)
plt.plot(x, p, 'k', linewidth=2)
plt.title('카이제곱 분포 히스토그램')
plt.show()

 

 

이항분포

• 데이터 개수가 많아질수록 정규분포에 가까워짐
• 성공/실패와 같은 두 가지 결과를 가지는 실험을 여러 번 반복했을 때 성공 횟수의 분포
• 독립적인 시행이 n번 반복되고, 각 시행에서 성공과 실패 중 하나의 결과만 가능한 경우를 모델링하는 분포
• 성공 확률을 p라 할 때, 성공의 횟수를 확률적으로 나타냄
• 실험 횟수(n)와 성공 확률(p)로 정의됨

결과가 2개만 나오는 상황을 여러번 하는 경우

• 동전 던지기 : 동전을 10번 던졌을 때, 앞면이 나오는 횟수는 이항분포
• 품질 관리 : 제조업체가 제품의 불량률을 모니터링할 때, 무작위로 선택된 100개의 제품 중 불량품의 수는 이항분포

# 이항분포 생성 (예: 동전 던지기 10번 중 앞면이 나오는 횟수)
binom_dist = np.random.binomial(n=10, p=0.5, size=1000)

# 히스토그램으로 시각화
plt.hist(binom_dist, bins=10, density=True, alpha=0.6, color='y')
plt.title('이항 분포 히스토그램')
plt.show()

 

 

푸아송 분포

푸아송 분포 예시 사진

• 희귀한 사건이 발생할 때 사용되는 분포
• 이항 분포처럼 연속된 값을 가지지 않기 때문에 이산형 분포에 해당
• 단위 시간 또는 단위 면적 당 발생하는 사건의 수를 모델링할 때 사용하는 분포
• 푸아송 분포는 평균 발생률 λ를 가진 사건이 주어진 시간 또는 공간 내에서 몇 번 발생하는지를 나타냄
• 푸아송 분포는 단위 시간 또는 단위 면적당 희귀하게 발생하는 사건의 수를 모델링하는 데 적합

특정 공간이나 특정 시간에 사건이 발생하는 경우

• 콜센터 : 특정 시간 동안 콜센터에 도착하는 전화 통화의 수
• 교통사고 : 특정 도로 구간에서 일정 기간 동안 발생하는 교통사고의 수
• 문자 메시지 : 특정 시간 동안 수신되는 문자 메시지의 수
• 웹사이트 트래픽 : 특정 시간 동안 웹사이트에 도착하는 방문자의 수

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import poisson

# 푸아송 분포 파라미터 설정
lambda_value = 4  # 평균 발생률
x = np.arange(0, 15)  # 사건 발생 횟수 범위

# 푸아송 분포 확률 질량 함수 계산
poisson_pmf = poisson.pmf(x, lambda_value)

# 그래프 그리기
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.bar(x, poisson_pmf, alpha=0.6, color='b', label=f'Poisson PMF (lambda={lambda_value})')
plt.xlabel('Number of Events')
plt.ylabel('Probability')
plt.title('Poisson Distribution')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

 

 

분포들 간의 관계

www.semanticscholar.org ​

• 데이터 수가 엄청 많아지면 정규분포에 수렴 (중심극한정리)
• 데이터 수가 많으면 묻지도 따지지도 말고 바로 정규분포로 가정!
• 하지만, 데이터가 적을 경우 각 상황에 맞는 분포를 선택
• 특히, long tail distribution은 데이터가 많아도 정규분포가 되지 않는 분포!

 

분포 고르는 방법

• 데이터 수가 충분하다 → (무조건) 정규분포
• 데이터 수가 작다 → 스튜던트 t 분포
• 일부 데이터가 전체적으로 큰 영향을 미친다 → 롱 테일 분포 (파레토 분포)
• 범주형 데이터의 독립성 검정이나 적합도 검정 → 카이 제곱 분포
• 결과가 두 개(성공 or 실패)만 나오는 상황 → 이항 분포
• 특정 시간, 공간에서 발생하는 사건 → 푸아송 분포